题目内容
【题目】设是实数,
(1)证明:f(x)是增函数;
(2)试确定的值,使f(x)为奇函数。
【答案】(1)见解析(2)1
【解析】
(1)设x1、x2∈R且x1<x2,用作差法,有f(x1)﹣f(x2)=,结合指数函数的单调性分析可得f(x1)﹣f(x2)<0,可得f(x)的单调性且与a的值无关;
(2)根据题意,假设f(x)是奇函数,由奇函数的定义可得,f(﹣x)=﹣f(x),即a﹣=﹣(a﹣),对其变形,解可得a的值,即可得答案.
(1)证明:设x1、x2∈R且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=(a﹣)﹣(a﹣)=,
又由y=2x在R上为增函数,则>0,>0,
由x1<x2,可得﹣<0,
则f(x1)﹣f(x2)<0,
故f(x)为增函数,与a的值无关,
即对于任意a,f(x)在R为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,且其定义域为R,
必有有f(﹣x)=﹣f(x),
即a﹣=﹣(a﹣),变形可得2a==2,
解可得,a=1,
即当a=1时,f(x)为奇函数.