题目内容
已知函数.
(1)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(2)若在区间上是减函数,且对任意的,,总有,求实数的取值范围.
(1)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(2)若在区间上是减函数,且对任意的,,总有,求实数的取值范围.
(1);(2)的取值范围是.
试题分析:(1)根据条件,可知为二次函数,其对称轴为,因此在上是减函数,故根据条件的定义域和值域均是,可列出关于的方程组,将具体的表达式代入,即可求得;(2)首先根据条件可知,再由问题的描述,可将问题等价转化为求使对任意的,,总有成立的的取值范围,又由条件,二次函数的对称轴,且左右端点对于对称轴的偏离距离,故有,,因此可以建立关于的不等式,从而求得的取值范围是.
试题解析:(1)∵,∴在上是减函数 2分,
又定义域和值域均为,∴, 4分
即,解得. 5分;
(2)∵在区间上是减函数,∴, 7分
又,且,
∴,. 10分
∵对任意的,,总有,
∴, 12分
即 ,解得 ,
又∵,∴,的取值范围是.
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