Question

（本小题满分14分）下图是一个三角形数阵．从第二行起每一个数都等于它肩上两个数的和，第行的第一个数为．

（Ⅰ）写出与的递推关系，并求；
（Ⅱ）求第行所有数的和；
（Ⅲ）求数阵中所有数的和；并证明：当时，．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）（，证明见解析。

（Ⅰ）由题意得，
，
由以上归纳可得：，               （2分）
∴，
∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，
∴ ，∴．               （4分）
（Ⅱ）由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，
且公差依次为：1，2， ，…，，…
第行的首项为，项数为，公差为
∴

           （7分）
当时，符合上式；
当时，由排布规律知，也符合上式；
∴．                   （8分）
（Ⅲ）

令                     （1）
       （2）
得
∴
∴（ （12分）
又
∴当时，
又
∴（当且仅当时取等号）．
∴当时,．                                              （14分）