Question

【题目】已知平面内圆心为的圆的方程为，点是圆上的动点，点是平面内任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹可能是_________．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）

①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.

Answer 1

【答案】①、②、④、⑥

【解析】∵Q是线段PA的中垂线上的点，∴QA=PQ，（1）若A在圆M外部，|QA-QM|=|PQ-QM|=PM=4，MA＞4，∴Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线；（2）若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q的轨迹为点M；（3）若A在圆M内部且不为圆心M，则MA＜4，QM+QA=QM+QP=4，∴Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆；（4）若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，∴Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆．综上，Q点轨迹可能是①②④⑥四种情况．

故答案为①②④⑥．