题目内容

14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α为参数）$，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t}\\{y=4+\frac{4}{5}t}\end{array}（t为参数）}\right.$．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的极坐标方程；
（2）若P（x，y）为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离d的最大值和最小值．

分析 （1）由曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α为参数）$，利用cos2α+sin2α=1可得曲线C的直角坐标方程．由直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t}\\{y=4+\frac{4}{5}t}\end{array}（t为参数）}\right.$．消去参数t可得：直线l的直角坐标方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程．
（2）设P（2cosα，sinα），直线l为4x-3y+12=0，利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α为参数）$，利用cos2α+sin2α=1可得：曲线C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
由直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t}\\{y=4+\frac{4}{5}t}\end{array}（t为参数）}\right.$．消去参数t可得：直线l的直角坐标方程为4x-3y+12=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：极坐标方程为4ρcosθ-3ρsinθ+12=0．
（2）设P（2cosα，sinα），直线l为4x-3y+12=0，
则$d=\frac{{|{8cosα-3sinα+12}|}}{5}=\frac{{|{\sqrt{73}cos（α+?）+12}|}}{5}$，
∴最大值为$\frac{{12+\sqrt{73}}}{5}$，最小值为$\frac{{12-\sqrt{73}}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程互化、椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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4．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”

（1）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
非读书迷读书迷合计
男15
女45
合计
（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$n=a+b+c+d
P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001
k02.7063.8415.0246.63510.828
5．若指数函数f（x）的图象过点（-2，4），则f（3）=$\frac{1}{8}$；不等式f（x）+f（-x）＜$\frac{5}{2}$的解集为（-1，1）．
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A．$-\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{2}$C．$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
9．已知实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+4≥0}\\{x-y+3≥0}\\{x≤0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，则目标函数z=3y-2x的最大值为9．
19．在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AC，BD的中点AB=CD=6，AB与CD所成的角为60度，则EF的长为$3或3\sqrt{3}$．
6．计算：∫e-2xdx．
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13．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^t}，x＜2\\ 1o{g_t}（{x^2}+7），x≥2\end{array}$，则$f（\sqrt{2}）=4$，则f（3）=（　　）
A．2B．4C．6D．8

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