题目内容
2.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,这个球的表面积是4π,则这个三棱柱的体积是$6\sqrt{3}$.分析 如图所示,设球心为O,上下底面的中心分别为O1,O2,球O与三个侧面相切的切点分别A,B,C.设球的半径为R,由球的表面积是4π,可得4πR2=4π,R=1.可得O1O2=2,为三棱柱的高.在等边三角形中,由OA=OB=OC=1,可得AB,可得三棱柱的底面边长=2AB.利用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积S,即可得出三棱柱的体积.
解答 解:如图所示,
设球心为O,上下底面的中心分别为O1,O2,球O与三个侧面相切的切点分别A,B,C.
设球的半径为R,∵球的表面积是4π,∴4πR2=4π,
解得R=1.∴O1O2=2,为三棱柱的高.
在等边三角形中,由OA=OB=OC=1,可得AB=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,
可得三棱柱的底面边长=$2\sqrt{3}$.
∴三棱柱的底面面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^{2}$=3$\sqrt{3}$.
∴这个三棱柱的体积=S•O1O2=6$\sqrt{3}$.
故答案为:6$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体积计算公式、等边三角形的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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