已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.点P($\frac{\sqrt{3}}{2}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$)在C上(Ⅰ)求椭圆C的方程(Ⅱ)与圆x2+y2=b2相切的直线l与C交于不同的两点M.N.当|MN|=$\sqrt{3}$时.求直线l� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在C上
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）与圆x²+y²=b²相切的直线l与C交于不同的两点M，N，当|MN|=$\sqrt{3}$时，求直线l的斜率．

分析（Ⅰ）由题意得到a，b的关系，得到椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．把点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入求得b²=1，进而得a²=3，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）若直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=1，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，求得|MN|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$≠$\sqrt{3}$，不合题意．若直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，由题意，有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$得到m与k的关系．联立直线方程和椭圆方程，由弦长公式得到|MN|=$\frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+3{k}^{2}}=\sqrt{3}$，解方程求得k的值．

解答解：（Ⅰ）由题意，有e²=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，得a²=3b²，即椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
∵点P在C上，将点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的坐标代入，得b²=1，进而a²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=1，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
得M（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），N（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），|MN|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$≠$\sqrt{3}$，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
由题意，有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，即m²=k²+1．
将y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{2\sqrt{3（3{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$
=$\frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+3{k}^{2}}=\sqrt{3}$，整理，得k⁴-2k²+1=0，解得k²=1，k=±1．
综上，可知直线l的斜率为±1．