题目内容
【题目】已知圆柱底面半径为1,高为
,
是圆柱的一个轴截面,动点
从点
出发沿着圆柱的侧面到达点
,其距离最短时在侧面留下的曲线
如图所示.将轴截面
绕着轴
逆时针旋转
后,边
与曲线
相交于点
.
(1)求曲线的长度;
(2)当时,求点
到平面
的距离.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)将圆柱的一半展开,可知曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,即可求得曲线
的长度.
(2)当时,以底面的圆心O为原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,求得平面
的法向量,即可求得点
到平面
的距离.
(1)曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,
其中,底面的半圆长为
∴的长为
(2)当时,建立如图所示的空间直角坐标系:
则有、
、
、
,
所以、
、
.
设平面的法向量为
,
则,代入可得
,
令,得
,
所以点到平面
的距离为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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