Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形且∠BAA1＝60°，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，AA1＝A1D＝2，BC＝1．

（1）证明：直线MD∥平面ABC；

（2）求D点到平面ABC的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）根据题意，得到共点的三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，从而证得线面平行；

（2）利用点D与平面ABC内的一个点连线构成的向量在平面ABC的法向量上的投影的绝对值，来求得点到平面的距离.

⑴解：，且D为中点，.

,

又，，

，.

又，.

取中点F，则，即BC、BF、两两互相垂直.

以B为原点，、BF、BC分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则（2，0，0），C（0，0，1），A（-1，，0），（1，，0），

（2，0，1），D（1，0，1），M（，，0），B（0，0，0），

（，，1），（-1，，0），（0，0，1），

设平面ABC的法向量为（x，y，z），

则，取，得（，1，0），

，.

又平面ABC，∴直线MD//平面ABC.

（2）由（1）知平面ABC的法向量为（，1，0），（1，0，1）

∴D到平面ABC的距离：.