题目内容
【题目】设,
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;
(Ⅲ)如果对任意的,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,考查函数思想和转化思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,将代入得到
解析式,求
将
代入得到切线的斜率,再将
代入到
中得到切点的纵坐标,利用点斜式求出切线方程;第二问,先将问题转化为
,进一步转化为求函数
的最大值和最小值问题,对
求导,通过画表判断函数的单调性和极值,求出最值代入即可;第三问,结合第二问的结论,将问题转化为
恒成立,进一步转化为
恒成立,设出新函数
,求
的最大值,所以
即可.
试题解析:(1)当时,
,
,
,
,
所以曲线在
处的切线方程为
; 2分
(2)存在,使得
成立等价于:
,
考察,
,
递减 | 极小值 | 递增 |
由上表可知:,
,
所以满足条件的最大整数; 7分
(3)当时,
恒成立等价于
恒成立,
记,
,
,
记,
,由于
,
,所以
在
上递减,
当时,
,
时,
,
即函数在区间
上递增,在区间
上递减,
所以,所以
.
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