Question

【题目】设，若时，恒有，则 .

Answer 1

【答案】-1

【解析】

试题分析：验证发现，

当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，

当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得-1≤a≤0，

令f（x）=x4-x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，

又f′（x）=4x3-3x2+a，f′′（x）=12x2-6x，

令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3-3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，

又-1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，

又x≥0时恒有，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4-x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．

故有f′（1）=1+a=0，由此得a=-1，b=1，

故ab=-1．