题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆上任意一点到右焦点
的距离的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是线段
上异于
的一个定点(
为坐标原点),是否存在过点
且与
轴不垂直的直线
与椭圆交于
两点,使得
,并说明理由.
【答案】(1)(2)当
时,
,即存在这样的直线
;当
时,
不存在,即不存在这样的直线
.
【解析】
试题分析:(I)根据题意建立关于a、b、c的方程组,解之可得a= 且b=1,从而得到该椭圆的标准方程;(II)根据题意设直线l其方程为y=k(x-1),直线方程与椭圆消去y得关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系得A
、B
满足
,从而得到AB的中点为M
,由|AC|=|BC|得CM⊥AB,利用斜率之积为-1建立关于k、m的关系式,整理后加以讨论即可得答案
试题解析:(1) ∵,∴
,∴
,
∴椭圆的方程为.
(2) 由(1)得,∴
,假设存在满足题意的直线
,设
为
,
代入,得
.
设,则
,
∴.
设的中点为
,则
.
∵,∴
,即
,
∴,
∴当时,
,即存在这样的直线
;
当时,
不存在,即不存在这样的直线
.
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