题目内容
【题目】如图,已知动直线过点
,且与圆
交于
、
两点.
(1)若直线的斜率为
,求
的面积;
(2)若直线的斜率为
,点
是圆
上任意一点,求
的取值范围;
(3)是否存在一个定点(不同于点
),对于任意不与
轴重合的直线
,都有
平分
,若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:
(1)利用题意分别求得距离和弦长可得;
(2)利用题意得到关于纵坐标y的函数,结合定义域可得的取值范围是
.
(3)联立直线和圆的方程,结合对称性可得点Q存在,其坐标为 .
试题解析:
解:(1)因为直线的斜率为
,所以直线
,
则点到直线
的距离
,
所以弦的长度
,
所以.
(2)因为直线的斜率为
,所以可知
、
,
设点,则
,
又,
所以,又
,
所以的取值范围是
.
(3)法一: 若存在,则根据对称性可知,定点在
轴上,设
、又设
、
,
因直线不与
轴重合,设直线
,
代入圆得
,
所以(*)
若平分
,则根据角平分线的定义,
与
的斜率互为相反数
有,又
,
,
化简可得,
代入(*)式得,因为直线
任意,故
,
即, 即
解法二:若存在,则根据对称性可知,定点在
轴上,设
、又设
、
,
因直线不与
轴重合,设直线
,
代入圆得
,
所以(*)
若平分
,则根据角平分线的几何意义,点
到
轴的距离
,点
到
轴的距离
满足
,即
,
化简可得,
代入(*)式得,因为直线
任意,故
,
即, 即
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