题目内容
【题目】如图,已知动直线过点,且与圆交于、两点.
(1)若直线的斜率为,求的面积;
(2)若直线的斜率为,点是圆上任意一点,求的取值范围;
(3)是否存在一个定点(不同于点),对于任意不与轴重合的直线,都有平分,若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】试题分析:
(1)利用题意分别求得距离和弦长可得;
(2)利用题意得到关于纵坐标y的函数,结合定义域可得的取值范围是.
(3)联立直线和圆的方程,结合对称性可得点Q存在,其坐标为 .
试题解析:
解:(1)因为直线的斜率为,所以直线 ,
则点到直线的距离,
所以弦的长度,
所以.
(2)因为直线的斜率为,所以可知、,
设点,则,
又,
所以,又,
所以的取值范围是.
(3)法一: 若存在,则根据对称性可知,定点在轴上,设、又设、,
因直线不与轴重合,设直线 ,
代入圆得,
所以(*)
若平分,则根据角平分线的定义,与的斜率互为相反数
有,又,,
化简可得,
代入(*)式得,因为直线任意,故,
即, 即
解法二:若存在,则根据对称性可知,定点在轴上,设、又设、,
因直线不与轴重合,设直线 ,
代入圆得,
所以(*)
若平分,则根据角平分线的几何意义,点到轴的距离,点到轴的距离满足,即,
化简可得,
代入(*)式得,因为直线任意,故,
即, 即
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