题目内容
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,过点
作垂直于
轴的直线
,直线
垂直
于点
,线段
的垂直平分线交
于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
,且分别交椭圆于
,求四边形
面积的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)求得椭圆的焦点坐标,连接,由垂直平分线的性质可得
,运用抛物线的定义,即可得到所求轨迹方程;(2)分类讨论:当
或
中的一条与
轴垂直而另一条与
轴重合时,此时四边形
面积
.当直线
和
的斜率都存在时,不妨设直线
的方程为
,则直线
的方程为
.分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式可得
,
.利用四边形
面积
即可得到关于斜率
的式子,再利用配方和二次函数的最值求法,即可得出.
试题解析:解:(1)∵,∴点
到定直线
:
的距离等于它到定点
的距离,∴点
的轨迹
是以
为准线,
为焦点的抛物线.
∴点的轨迹
的方程为
.
(2)当直线的斜率存在且不为零时,直线
的斜率为
,
,
,则直线
的斜率为
,直线
的方程为
,联立
,得
.
∴,
.
.由于直线
的斜率为
,用
代换上式中的
。可得
.
∵,∴四边形
的面积
.
由于,∴
,当且仅当
,即
时取得等号.
易知,当直线的斜率不存在或斜率为零时,四边形
的面积
.
综上,四边形面积的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在2016年6月英国“脱欧”公投前夕,为了统计该国公民是否有“留欧”意愿,该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民,调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”.现已得知50人中赞成“留欧”的占60%,统计情况如下表:
年龄层次 | 赞成“留欧” | 反对“留欧” | 合计 |
18岁—19岁 | 6 | ||
50岁及50岁以上 | 10 | ||
合计 | 50 |
(1)请补充完整上述列联表;
(2)请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关?请说明理由.
参考公式与数据:,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |