题目内容

【题目】已知抛物线 上一点且纵坐标为 上的两个动点,且

(1)求过点 ,且与 恰有一个公共点的直线 的方程;
(2)求证: 过定点.

【答案】
(1)解:由题意得 ,显然直线 符合题意;

时,设 的方程为 ,由

,令 ,解得

于是 ,所以 的方程为


(2)解:设 ,于是

于是直线 的方程为

①,又 ,所以

易得 ,于是

,与①联立,消去

,令 ,得 ,故过定点


【解析】(1)分情况讨论直线斜率存在和不存在,当斜率不存在时结合题意可得满足。当斜率存在时由直线方程的点斜式设出方程再与抛物线的方程联立,消元得到关于y的方程根据题意直线和抛物线相切进而方程的判别式等于零,即可求出m的值进而得到直线的方程。(2)根据题意分别求出点P、Q的坐标,然后求出直线QR的斜率由直线的点斜式求出直线的方程,整理化简再结合两直线垂直斜率之积等于-1得到关于y1和y2的代数式,利用整体思想结合代数式的几何意义的出x、y的值,进而可得QR过定点。

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