题目内容
【题目】已知函数f(x)= .
(1)当a=b=1时,求满足f(x)=3x的x的值;
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,
①判断f(x)在R的单调性并用定义法证明;
②当x≠0时,函数g(x)满足f(x)[g(x)+2]= (3﹣x﹣3x),若对任意x∈R且x≠0,不等式g(2x)≥mg(x)﹣11恒成立,求实数m的最大值.
【答案】
(1)解:当a=b=1时,f(x)= .
若f(x)=3x,即3(3x)2+23x﹣1=0,
解得:3x= ,或3x=﹣1(舍去),
∴x=﹣1;
(2)解:若函数f(x)是定义在R上的奇函数,
则f(﹣x)=﹣f(x),即 = ,
即(3a﹣b)(3x+3﹣x)+2ab﹣6=0,
解得: ,或 ,
经检验, 满足函数的定义域为R,
∴f(x)= = .
①f(x)在R上单调递减,理由如下:
∵任取x1<x2,
则 , ,
则f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = >0,
即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在R上是减函数;
②∵当x≠0时,函数g(x)满足f(x)[g(x)+2]= (3﹣x﹣3x),
∴g(x)=3x+3﹣x,(x≠0),
则g(2x)=32x+3﹣2x=(3x+3﹣x)2﹣2,
不等式g(2x)≥mg(x)﹣11恒成立,
即(3x+3﹣x)2﹣2≥m(3x+3﹣x)﹣11恒成立,
即m≤(3x+3﹣x)+ 恒成立,
仅t=3x+3﹣x,则t>2,
即m≤t+ ,t>2恒成立,
由对勾函数的图象和性质可得:当t=3时,t+ 取最小值6,
故m≤6,
即实数m的最大值为6.=
【解析】1、由题意可得,当a=b=1时可将方程转化为关于3x 的一元二次方程再由指数函数的自身的范围3x >0, 即得x=-1.
2、先根据函数的奇偶性确定a、b的值:a=1 b=3再利用函数的单调性定义确定其单调性:在R上递减。最后根据单调性转化不等式 f(t2-2t)<f(2t2 -k)为t2 -2t>2t2-k即t2 +2t-k <0在R上有解,根据判别式大于零可得k的取值范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识,掌握单调性的判定法:①设x