题目内容
17.山东某市2008年至2012年新建商品住宅每平方米的均价y(单位:千元)的数据如表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 |
年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
每平米均价y | 2.0 | 3.1 | 4.5 | 6.5 | 7.9 |
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析从2008年到2012年该市新建商品住宅每平方米均价的变化情况,并预测该市2015年新建商品住宅每平方米的均价.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x•\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}$,$\hat a=\bar y-\hat b•\bar x$.
分析 (I)根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据,代入求系数$\hat{b}$的公式,求得结果,再把样本中心点代入,求出$\hat{a}$的值,得到线性回归方程.
(Ⅱ)根据上一问所求的线性回归方程,把x=8代入线性回归方程,预测该市2015年新建商品住宅每平方米的均价.
解答 解:(Ⅰ)由已知得:
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$(1+2+3+4+5)=3,….(1分)
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×(2.0+3.1+4.5+6.5+7.9)=4.8,….(2分)
$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=12+22+32+42+52=55,…(3分)
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=1×2+2×3.1+3×4.5+4×6.5+5×7.9=87.2,….(5分)
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{87.2-5×3×4.8}{55-5×9}=1.52$….(7分)
$\hat a=\bar y-\hat b•\overline{x}=4.8-1.52×3=0.24$…(8分)
∴y关于x的线性回归方程为;$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52x+0.24$….(9分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52x+0.24$,可知$\hat b=1.52>0$,
从2008年到2012年该市新建商品住宅每平方米均价逐年增加,
平均每年增加1.52千元; ….(10分)
将2015年的年份代号x=8代入(Ⅰ)中的回归方程得$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52×8+0.24=12.4$(千元)=12400元
故预测该市到2015年新建商品住宅每平方米的价格为12400元.….(13分)
点评 本题考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,是一个基础题,解题时运算量比较大,注意利用公式求系数时,不要在运算上出错.属于中档题.