Question

7．（1）设$α≠\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，请运用任意角的三角比定义证明：tanα-cotα=（sinα+cosα）（secα-cscα）．
（2）设α≠kπ（k∈Z），求证：$sin2α（cot\frac{α}{2}-tan\frac{α}{2}）=4{cos^2}α$．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义进行证明即可．
（2）根据三角函数的倍角公式进行证明．

解答 证明：（1）设P（x，y）是角α终边上任意一点，且$|OP|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=r＞0$，…（1分）
则由任意角的三角比定义，有$sinα=\frac{y}{r}，cosα=\frac{x}{r}$，$tanα=\frac{y}{x}，cotα=\frac{x}{y}$，
$secα=\frac{r}{x}，cscα=\frac{r}{y}$，…2分），
左边=$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$…（3分），
右边=（$\frac{y}{r}+\frac{x}{r}$）（$\frac{r}{x}-\frac{r}{y}$）=$\frac{x+y}{r}•r•\frac{y-x}{xy}$=$\frac{{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$
左=右，所以tanα-cotα=（sinα+cosα）（secα-cscα），原式成立． …（4分）
（2）证明左=2sinαcosα$•（\frac{1+cosα}{sinα}-\frac{1-cosα}{sinα}）$=4cos²α=右．…（8分）
故等式成立．

点评 本题主要考查三角函数式的证明，利用三角函数的定义和三角函数的倍角公式是解决本题的关键．