题目内容
【题目】在椭圆
外一直线
上取
个不同的点
，过
向椭圆作切线
、
，切点分别为
、
.记直线
为
.
（1）若存在正整数
、
（
、
，
），使得点
在直线
上，证明：点
在直线上；
（2）试求直线
将椭圆分成的区域的个数.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
设椭圆
:
，直线
：
，
.
则点
关于椭圆的切点弦
的方程为
①
（1）直线
：
，由点
在上知
.
从而，点
也满足方程①，即点
也在直线上.
（2）当
时，直线：
，即
. ②
由直线在椭圆外知
.
将式②代入式①整理得
.
从而，直线
恒过定点
.
而
，故该定点在椭圆内.当
时，直线：
，即
. ③
联立椭圆与直线的方程并化简得
.
由直线在椭圆外知
.
将式③代入式①整理得
.
此时，直线恒过定点
.
而
，故该定点在椭圆内.
综上，直线
交于椭圆内一定点.
故这
条直线将椭圆分成个区域.
【题目】某研究机构随机调查了
，
两个企业各100名员工，得到了企业员工月均收入的频数分布表以及企业员工月均收入的统计图如下：
企业：
工资 | 人数 |
| 5 |
| 10 |
| 20 |
| 42 |
| 18 |
| 3 |
| 1 |
| 1 |
企业：
（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工月均收入不低于5000元的概率；
（2）（i）若从企业的月均收入在
员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，则2人月均收入都不在
的概率是多少？
（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.
【题目】某大学高等数学这学期分别用
两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为
人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各
名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的
列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
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（参考方式：
，其中
）
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.
【题目】我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布
．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：
人工投入增量x（人） | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
年收益增量y（万元） | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对人工投入增量x做变换，令
，则
，且有
．
（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 182.4 | 79.2 |
附：若随机变量
，则
，
；
样本
的最小二乘估计公式为：
，
另，刻画回归效果的相关指数
