题目内容
【题目】如图，在矩形
中，
，
，
平面，且
，
、
、
分别为
，
，
中点．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）以
点为原点，分别以
，
，
的方向为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系
，求得
，得到
，利用线面平行的判定定理，得到
平面
，再由面面平行的判定定理，即可证得平面
平面．
（2）求得平面
和平面
的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角
的余弦值．
解：（1）以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则
，
，
，
，
，
，
又
是
中点，∴
，
，
∴，∴，
又
平面，
平面，∴平面，
又
是
中点，∴
，
∵
平面，
平面，∴
平面，
∵
，
，
平面，∴平面平面．
（2）设平面的法向量
，则
，
由（1）知
，
，
∴
，取
，得
，
同样求平面的一个法向量
，
，
，
∴二面角
的余弦值为．
【题目】电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：
.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到
列联表，且已知在100个人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为
.
（1）请完成列联表；
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合计 | 100 |
（2）根据列联表，是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由.
附：参考公式与临界值表如下：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
