题目内容
【题目】我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布
．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：
人工投入增量x（人） | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
年收益增量y（万元） | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对人工投入增量x做变换，令
，则
，且有
．
（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 182.4 | 79.2 |
附：若随机变量
，则
，
；
样本
的最小二乘估计公式为：
，
另，刻画回归效果的相关指数
【答案】（1）1.29%；（2）（i）
，（ii）见解析
【解析】
（1）根据正态分布的对称性得到
，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故
，由间接法列式得到结果即可；（2）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较
的大小可得到拟合效果的差异，将x=16代入回归方程可得到预测值.
（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量
，则
，
由正态分布的对称性可知，
，
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故，
故
，
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%．
（2）（i）由
，有
，
且
，
所以，模型②中
关于
的回归方程为
（ii）由表格中的数据，有
，即
模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当
时，模型②的收益增量的预测值为
（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．
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