题目内容

【题目】某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成,其中所在的抛物线以为顶点、开口向下,所在的抛物线以为顶点、开口向上,以过山脚(点)的水平线为轴,过山顶(点)的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知所在抛物线的解析式所在抛物线的解析式为

(1)求值,并写出山坡线的函数解析式;

(2)在山坡上的700米高度(点)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站,索道的起点选择在山脚水平线上的点处,(米),假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时,索道的悬空高度有最大值,试求索道的最大悬空高度;

(3)为了便于旅游观景,拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶,台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).试求出前三级台阶的长度(精确到厘米),并判断这种台阶能否一直铺到山脚,简述理由?

【答案】1

(2)米 (3)第一级台阶的长度为厘米,第二级台阶的长度为厘米,第三级台阶的长度为厘米,这种台阶不能从山顶一直铺到山脚.

【解析】

(1)将点点B(4,4)分别代入求出即可求得函数的解析式;

(2)由已知有索道在上方时,悬空高度

利用配方法可得=,再求最大值即可;

(3)由(1)得,在山坡线上,

分别求出

再运算可得各级台阶的长度,再取点,又取

运算可得,即这种台阶不能一直铺到山脚,得解.

解:(1)将点B(4,4)分别代入

解得

(2)由图可知:,由图观察可得:只有当索道在上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值,

索道在上方时,悬空高度==

时,

故索道的最大悬空高度为米;

(3)在山坡线上,

①令,得

所以第一级台阶的长度为(百米)(厘米),

同理,令

所以第一级台阶的长度为(百米)(厘米),

所以第二级台阶的长度为(百米)(厘米),

所以第三级台阶的长度为(百米)(厘米),

②取点,又取

因为

故这种台阶不能从山顶一直铺到点,从而就不能一直铺到山脚.

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