题目内容
【题目】如图1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形的长分别为
米和
米,上部是圆心为
的劣弧
,
(1)求图1中拱门最高点到地面的距离:
(2)现欲以点为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形
所在的平面始终与地面垂直,如图2、图3、图4所示,设
与地面水平线
所成的角为
.若拱门上的点到地面的最大距离恰好为
到地面的距离,试求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据及
,可求得圆的半径,根据最高点与圆心的关系即可求得到地面的距离.
(2)通过讨论P点所在的位置以及三角函数的性质可判断出h取最大值时θ取值范围.
(1)过O点作交
于
,交
于
,交
于
.如下图所示:
则即为所求.
因为,
所以
则
所以
即拱门最高点到地面的距离为5米
(2)在拱门放倒过程中,过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.
当点P在劣弧CD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和;
当点P在线段AD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.
由(1)知,在Rt△OO1B中,OB2
.
以B为坐标原点,直线l为x轴,建立如图所示的坐标系.
①当点P在劣弧CD上时,.
由∠OBx=θ,OB=2
,
由三角函数定义,得O(2cos(
),2
),
则h=2+2,所以当θ
即θ
时,h取得最大值2+2
,
②当点P在线段AD上时,0≤θ.
设∠CBD=φ,在Rt△BCD中,DB2
,sinφ
,cosφ
.
由∠DBx=θ+φ,得D(2(θ+φ),2
(θ+φ)).
所以h=2(θ+φ)=4sinθ+2
cosθ,
又当0<θ时,h′=4cosθ﹣2
sinθ>4cos
2
sin
0,
所以h=4sinθ+2在[0,
]上递增.
所以当θ时,h取得最大值5.
因为2+25,所以h的最大值为2+2
.
综上,若拱门上的点到地面的最大距离恰好为D到地面的距离,则θ.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)