Question

17．数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N^*），则a₁²+a₂²+…+a_n²等于（　　）

• A． 4ⁿ
• B． $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$
• C． $\frac{4}{3}（{4^n}-1）$
• D． $\frac{1}{3}（{4^n}+8）$

Answer 1

分析 利用S_n-S_n-1可知a_n=2^n-1（n≥2），通过n=1可知a₁=S₁=2，进而可知${{a}_{n}}^{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1}\\{\frac{{4}^{n}}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，计算即得结论．

解答 解：∵S_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2），
又∵a₁=S₁=2不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴${{a}_{n}}^{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1}\\{\frac{{4}^{n}}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²
=4+$\frac{1}{4}$（4²+4³+…+4ⁿ）
=4+$\frac{1}{4}$•$\frac{{4}^{2}（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$
=4+$\frac{1}{3}$•（4ⁿ-4）
=$\frac{1}{3}$•（4ⁿ+8），
故选：D．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．