Question

9．已知不等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$对一切x＞0，y＞0恒成立，则实数a的取值范围为[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$等价为a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，
设m=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，则m＞0，
平方得m²=（$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$）²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤1+$\frac{2\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}$=1+1=2，
当且仅当x=y时取等号，
∴m²≤2，则0≤m≤$\sqrt{2}$
∴要使a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，
则a≥$\sqrt{2}$，
故答案为：[$\sqrt{2}$，+∞）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强．