Question

12．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（表中w₁=$\sqrt{x}$₁，$\overline w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^n{w_i}$）

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	$\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^n{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（ II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=$\sqrt{x}$，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=90时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，$y=c+d\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，由于d=68，c=563-68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为y=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=90时，年销售量y的预报值y=100.6+68$\sqrt{90}$=745.2，
年利润z的预报值z=745.2×0.2-90=59.04，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
当$\sqrt{x}$=6.8时，年利润的预报值最大为66.36千元．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．