题目内容

【题目】以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的参数方程为,曲线的极坐标方程为

求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;

若把曲线上给点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.

【答案】(1);(2)

【解析】

1)消去参数t可得直线l的普通方程,由极坐标与直角坐标互化公式得曲线C1的直角坐标方程;

2)根据坐标变换公式得曲线C2的参数方程,再根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得最大值.

1)由t为参数),得,即.故直线的普通方程是.

,得,即.

代入.故曲线的直角坐标方程是.

2)曲线的直角坐标方程化为参数方程是为参数),若把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍,

纵坐标伸长为原来的倍,得到的曲线的参数方程为参数).

由点到直线的距离公式得,点到直线的距离是

,其中.

时,取得最大值,且最大值为.

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