题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
且
,
(1)证明:平面平面
.
(2)若为侧棱
的中点,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)在梯形中,可证
,再由
,进而有
平面
,即可证明结论;
(2)由已知可得,由(1)得
,可证
平面
,建立空间直角坐标系,确定
坐标,求出平面
法向量坐标,取平面
的法向量为
,根据空间向量的面面角公式,即可求解.
(1)在底面
中,
,
且,
,
,
,
又平面
,
平面
,
平面
,
又平面
,
平面
平面
.
(2),
,
,
又,
,
平面
,
平面
,
平面
.
取BC的中点E,则AE、AD、AP三条直线两两垂直,
以为坐标原点,
所在的直线分别为
轴,
建立空间直角坐标系,,
,所以
,
,
由(1)知平面的一个法向量
,
设平面的法向量为
,
则,即
,
令,则
,
所以平面的一个法向量为
,
所以,
,
所以二面角的正弦值
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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