题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，侧棱
面，
.
（1）若
是
的中点，求
与
所成的角；
（2）设是上一点，过
的平面将四棱柱分成体积相等的两部分，求
.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）设菱形
的边长为单位1，则
.取
的中点
，连接
.可得
（或其补角）就是
与
所成的角.在
中求出这个角即可；
（2）作出过
的平面与侧面
的交线为
.可证得
，设
，
，多面体
的体积等于三棱锥
与四棱锥
的体积之和，由此求得
，可得
．
设菱形的边长为单位1，则.
（1）取的中点，连接.
∵
是
是中点，∴
，
，
，（或其补角）就是与所成的角.
∵
面，∴
面，而
面，∴
.
在
中，因为
，
，
所以
，即
.
从而在
中，
，故.
∴异面直线与所成的角的60°.
（2）如图，设过的平面与侧面的交线为.
∵
，
不在平面内，∴
面，∴
，于是
.
连接
，
，
，设，，
则直角梯形
中，
，其面积
.
过
在平面内作
，
是垂足，在等边三角形
中，
.
∵面，∴
，得
面，
多面体的体积
，
∴
，
（舍去大于1的）.
由
，得
.
超能学典应用题题卡系列答案
【题目】某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年生产台数（万台） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
该产品的年利润（百万元） | 2.1 | 2.75 | 3.5 | 3.25 | 3 | 4.9 | 6 | 6.5 |
年返修台数（台） | 21 | 22 | 28 | 65 | 80 | 65 | 84 | 88 |
部分计算结果：
| ||||||||
注：年返修率=
（1）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以
表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润
（百万元）关于年生产台数
（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程
中，
，
.
