题目内容
【题目】设函数f(x)=.
(1)当m=4时,求函数f(x)的定义域M;
(2)当a,b∈RM时,证明:2|a+b|<|4+ab|.
【答案】(1)M={x|x≤﹣2或x≥2};(2)见解析.
【解析】
试题(1)由题意和二次根式的被开方数非负,可得|x+1|+|x﹣1|≥4,运用绝对值的意义和对x讨论,解不等式即可得到所求定义域;
(2)可得﹣2<a,b<2,要证2|a+b|<|4+ab|,可证4(a+b)2<(4+ab)2,作差4(a+b)2﹣(4+ab)2,运用平方差和因式分解,即可得证.
试题解析:
(1)解:当m=4时,由|x+1|+|x﹣1|≥4,
等价于 或
或
,
解得x≤﹣2或x≥2或x∈.
则不等式的解集为M={x|x≤﹣2或x≥2}
(2)解:证明:当a,b∈CRM时,即﹣2<a,b<2,
所以4(a+b)2﹣(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)﹣(16+8ab+a2b2)
=4a2+4b2﹣16﹣a2b2=(a2﹣4)(4﹣b2)<0,所以4(a+b)2<(4+ab)2,
即2|a+b|<|4+ab|.
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