题目内容
【题目】如图所示，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
， 
， 
，
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析；(2) 
【解析】
（1）根据直角三角形和等比三角形的性质，证得
，再利用线面平行的判定定理，即可证得
平面
.
（2）由（1）以点
为原点，以
，
，
分别为
轴，
轴，
轴建立如图的空间直角坐标系，求得平面
的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
（1）在
中，因为
，
，
，
所以
，
，
在
中，因为
，，
，
由余弦定理得
，
所以
，所以
，则是直角三角形，
又因为
为
的中点，所以
，
又因为，所以
是等边三角形，
所以
，所以，
又因为
平面，
平面，
所以平面.
（2）由（1）可知
，以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
设
为平面的一个法向量，
则
即
设
，则
，
，所以
，
所以
，
所以直线
与平面所成角的正弦值为.
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