Question

5．在锐角△ABC中，|BC|=1，∠B=2∠A，则$\frac{{|{AC}|}}{cosA}$=2；|AC|的取值范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 根据正弦定理便可得到$\frac{|AC|}{sin2A}=\frac{1}{sinA}$，从而便可得到$\frac{|AC|}{cosA}=2$，而根据△ABC为锐角三角形，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{0＜2∠A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3∠A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，这样便可得到$\frac{π}{6}＜∠A＜\frac{π}{4}$，这样便可得出cosA的范围，从而得出|AC|的取值范围．

解答 解：如图，
根据正弦定理：$\frac{|AC|}{sinB}=\frac{|BC|}{sinA}$，|BC|=1，∠B=2∠A；
∴$\frac{|AC|}{sin2A}=\frac{1}{sinA}$；
∴$\frac{|AC|}{cosA}=2$；
∴|AC|=2cosA；
∵A，B，C为锐角三角形，∠B=2∠A，∠C=π-3∠A；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2∠A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3∠A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\frac{π}{6}＜∠A＜\frac{π}{4}$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}＜cosA＜\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\sqrt{2}＜|AC|＜\sqrt{3}$；
∴|AC|的取值范围为（$\sqrt{2}，\sqrt{3}$）．
故答案为：2，$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

点评 考查正弦定理，二倍角的正弦公式，以及锐角三角形的概念，余弦函数在$（0，\frac{π}{2}）$上的单调性．