题目内容

9.已知复数$z=a(1+i)+\frac{2}{i}$(a∈R,i为虚数单位)为实数,则${∫}_{0}^{a}$($\sqrt{4-{x}^{2}}$+x)dx的值为(  )
A.2+πB.2+$\frac{π}{2}$C.4+2πD.4+4π

分析 由复数定义易得a=2,由定积分的几何意和定积分的计算可得.

解答 解:∵$z=a(1+i)+\frac{2}{i}$=a+(a-2)i,(a∈R,i为虚数单位)为实数,∴a=2,
∴${∫}_{0}^{a}$($\sqrt{4-{x}^{2}}$+x)dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx,
由定积分的几何意义可知${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圆x2+y2=4面积的四分之一,为π,
∴=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx=π+$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{2}$=π+2,
故选:A.

点评 本题考查复数的基本概念和定积分的求解,属基础题

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