题目内容

17.用合适的方法证明下面两个问题:
(1)设a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b;
(2)设a>0,b>0,且a+b=10,求证:$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8.

分析 (1)直接利用作差法,然后分析证明即可.
(2)运用分析的解题方法,执果索因、逆向思考问题,在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件.分析法执果索因、逆向思考问题,在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件,从而使问题得证.

解答 证明:2a3-b3-2ab2+a2b=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a-b)(a+b)(2a+b),
∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而:(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
(2))∵a>0,b>0,且a+b=10,
∴欲证$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8
只需证($\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$)2≤64
只需证$\sqrt{1+3a}$•$\sqrt{1+3b}$≤16,
只需证(1+3a)•(1+3b)≤256
只需证ab≤25.
∵10=a+b≥2$\sqrt{ab}$,
∴ab≤25,
∴$\sqrt{1+3a}$+$\sqrt{1+3b}$≤8.

点评 本题考查不等式的证明,作差法的应用,运用分析的解题方法,执果索因、逆向思考问题,在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件(隐含条件、过渡条件等),由欲知确定需知,求需知利用已知,适时采用由结论到条件的分析方法逆向训练,有利于养成双向考虑问题的良好习惯.

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