Question

9．设函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3x-1，x＜1}\\{{2^x}，x≥1}\end{array}}\right.$，则满足f（f（a））=2^f（a）的a的取值范围是[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 令f（a）=t，则f（t）=2^t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：令f（a）=t，
则f（t）=2^t，
当t＜1时，3t-1=2^t，
由g（t）=3t-1-2^t的导数为g′（t）=3-2^tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（-∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t-1=2^t无解；
当t≥1时，2^t=2^t成立，
由f（a）≥1，即3a-1≥1，解得a≥$\frac{2}{3}$，且a＜1；
或a≥1，2^a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥$\frac{2}{3}$．
故答案为：[$\frac{2}{3}$，+∞）

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．