题目内容
19．
小明家住C区，他的学校在D区，从家骑自行车到学校的路有L1、L2．两条路线（如图），路线L1上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为$\frac{2}{3}$；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{5}$． （I）若走L1，路线，求至少遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．
分析 （I）设“至少遇到1次红灯”为事件A，其对立事件是没有遇到红灯，利用二项分布即可得出；
（Ⅱ）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；
（Ⅲ）由于走路线L1时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线．
解答 解：（I）设“至少遇到1次红灯”为事件A，其对立事件是没有遇到红灯．
则P（A）=1-${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{7}{8}$，
所以走L1路线，至少遇到1次红灯的概率为$\frac{7}{8}$．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$．
随机变量X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{9}{20}$ | $\frac{9}{20}$ |
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～B（3，$\frac{1}{2}$），
所以EY=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好．
点评 熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．
练习册系列答案
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10．命题p：?x0∈R使sinx0=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$；q：?x∈R都有x2+x+1＞0给出下列结论：
①命题“p∧q”为真；
②命题“p∧?q”为假；
②命题“￢p∨q”为真；
④命题“￢p∨￢q”为假；
其中正确的命题序号为（ ）
①命题“p∧q”为真；
②命题“p∧?q”为假；
②命题“￢p∨q”为真；
④命题“￢p∨￢q”为假；
其中正确的命题序号为（ ）
| A． | ②④ | B． | ②③ | C． | ③④ | D． | ①②③ |
7．已知函数y=f（x）是偶函数，且f（2）=5，那么f（2）+f（-2）的值为（ ）
| A． | 0 | B． | 2 | C． | 5 | D． | 10 |
4．设函数y=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-1）}$的定义域为P，不等式x2-2x≤0的解集为Q，则x∈P是x∈Q的（ ）条件．
| A． | 充分不必要 | B． | 必要不充分 | ||
| C． | 充分必要 | D． | 既不充分也不必要 |
11．
如图，已知圆M的半径为2，点P与圆心M的距离为4，正方形ABCD是圆M的内接四边形，E，F是边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{ME}$的取值范围是（ ）
如图，已知圆M的半径为2，点P与圆心M的距离为4，正方形ABCD是圆M的内接四边形，E，F是边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{ME}$的取值范围是（ ）| A． | [-2，2] | B． | [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$] | C． | [-4，4] | D． | [-4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$] |