Question

20．一袋中装有6个形状大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，其中编号为3的小球有1个，已知从中一次抽取两球，至少抽到1个编号为1的小球的概率为$\frac{4}{5}$．
（1）求编号为1的小球个数；
（2）若有放回的抽取3次，每次随机抽取3球，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；
（3）从袋中随机抽取3个小球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用至少抽到1个编号为1的小球的概率为$\frac{4}{5}$，建立方程，即可求编号为1的小球个数；
（2）确定一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率，即可求出恰有2次抽到编号为3的小球的概率；
（3）确定随机变量X所有可能的取值，求出相应的概率，即可求出随机变量X的分布列与数学期望．

解答 解：（1）设编号为1的小球个数为n（n∈N₊，n≤4），
∵至少抽到1个编号为1的小球的概率为$\frac{4}{5}$，
∴1-$\frac{{C}_{6-n}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴n=3或8（舍去），
∴编号为1的小球个数为3；
（2）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{2}$
∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为${C}_{3}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$；
（3）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$；P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$；P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{10}{20}$
∴随机变量X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{10}{20}$

∴E（X）=1×$\frac{1}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{10}{20}$=$\frac{49}{20}$．

点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．