Question

18．已知函数f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，有下列四个结论：
①?x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立；
②存在常数T≠0，对于?x∈R，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③?M＞0，至少存在一个实数x₀，使得f（x₀）＞M；
④函数y=f（x）有无数多个极值点．
其中正确结论的序号是③④（将所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①先求f（x）=xsinx，可求f（-x）=f（x）；
②研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立；
③找出一个常数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④求导后得到x=-tanx，y=x与y=-tanx有无数个交点，可得f（x）=xsinx有无数个极值点．

解答 解：f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=xsinx，
①?x∈R，都有f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），错误；
对于②∵当x=2kπ+$\frac{π}{2}$时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故②错；
对于③取M=1，当x₀=$\frac{π}{2}$时，|f（$\frac{π}{2}$）|=$\frac{π}{2}$≥1；故③正确；
④f（x）=xsinx，求导后得到sinx+xcosx=0，
得到x=-tanx，根据y=x与y=-tanx有无数个交点，
所以x=-tanx有无数解，
所以f（x）=xsinx有无数个极值点，故正确．
故答案为：③④．

点评 本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．