题目内容
【题目】设Sn为数列{an}的前n项和．已知
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（Ⅰ）an=2n+1；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）依题意有an2+2an=4Sn+3①，当n≥2时an-12+2an-1=4Sn-1+3②，两式对应相减an-an-1-2=0（n≥2），再利用等差数列的通项求{an}的通项公式；（Ⅱ）由题得
=
（
-
），再利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．
（Ⅰ）依题意有an2+2an=4Sn+3①
当n=1时a12+2a1=4S1+3，解得a1=3，
当n≥2是an-12+2an-1=4Sn-1+3②，
①-②得（an+an-1）（an+an-1-2）=0，
∵an＞0，
∴an+an-1＞0，
∴an-an-1-2=0（n≥2），
∴{an}成等差数列，得an=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）
=
=
=（-），
∴数列{bn}的前n项和Tn=（1-
+
+…+-）=（1-）=
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