题目内容
【题目】已知函数.
若曲线在
处的切线斜率为0,求a的值;
(Ⅱ)若恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)求证:当时,曲线
(x>0)总在曲线
的上方.
【答案】(I). (II)
.(III)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用导函数在x=0处的值等于零,可以求出a的值.
(Ⅱ).分
,
,
三种情况讨论求
的最小值即可;
(Ⅲ) 当时,构造
,证明
试题解析:(I)函数的定义域为
.
因为,所以
.
由得
.
(II).
①当时,令
得
.
时,
;
时,
.
在
上单调递减,在
上单调递增.
所以当时,
有最小值
.
“恒成立”等价于“
最小值大于等于0”,即
.
因为,所以
.
②当时,
符合题意;
③当时,取
,则
,不符合题意.
综上,若对
恒成立,则
的取值范围为
.
(III)当时,令
,可求
.
因为,
,且
在
上单调递增,
所以在(0,)上存在唯一的
,使得
,即
,且
.
当变化时,
与
在(0,
)上的情况如下:
0 | |||
极小 |
则当时,
存在最小值
,且
.
因为,所以
.
所以当时,
所以当时,曲线
总在曲线
的上方.
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