题目内容
【题目】定义在（0，+∞）的函数f（x）满足如下三个条件：
①对于任意正实数a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；
②f（2）=0；
③x＞1时，总有f（x）＜1．
（1）求f（1）及
的值；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）如果存在正数k，使关于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1有解，求正实数k的取值范围．
【答案】（1）f（1）=1；f（
）=2；（2）详见解析；（3）[8，+∞）.
【解析】
（1）令a＝b＝1，a＝2，b
，即可求得f（1）及
的值；
（2）当x＞1时，f（x）＜1，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；
（3）把f（kx）+f（2﹣x）根据条件转化为f[kx（2﹣x）]﹣1，根据函数的单调性把函数值转化为自变量x的方程，分离参数转化我求函数的值域即可得到所求范围．
解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1）-1，
即有f（1）=1；
令a=2，b=，可得f（1）=f（2）+f（）-1=f（）-1=1，
即有f（）=2；
（2）证明：设0＜x1＜x2，可得
＞1，
可得f（）＜1，
由f（x2）=f（x1）=f（x1）+f（）-1＜f（x1），
可得函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）由f（4）=2f（2）-1=-1，
f（8）=f（2）+f（4）-1=-2，
可得关于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1即为f（kx（2-x））=-2=f（8），
函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
可得kx（2-x）=8在0＜x＜2有解，
即有k=
，
由0＜x＜2可得x（2-x）∈（0，1]，
则k的范围是[8，+∞）．
【题目】调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（x，y，z） | （1，1，2） | （2，1，1） | （2，2，2） | （0，1，1） | （1，2，1） |
人员编号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
（x，y，z） | （1，2，2） | （1，1，1） | （1，2，2） | （1，0，0） | （1，1，1） |
（1）在这10名被调查者中任取两人，求这两人的居住满意度指标z相同的概率；
（2）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ=m﹣n，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．
