题目内容
【题目】已知椭圆过点
,且离心率
。
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点
,且线段
的垂直平分线过定点
,求
的取值范围。
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)由椭圆的离心率可得,根据椭圆过点
可得
,求得
,
后可得椭圆的方程.(2)将直线方程代入椭圆方程后整理可得
,由
得
.由根与系数的关系求得弦MN的中点
,由此可得直线AG的斜率
,根据
可得
,由此可得
,解得
,即为所求范围.
试题解析:
(1)椭圆的离心率
,
,即
;①
又椭圆过点,
∴,②
由①②得,
,
∴椭圆的方程为.
(2)由消去
整理得
,
直线与椭圆交于不同的两点,
,
整理得……(1)
设,弦MN的中点A
,
则,
∴
∴,
∴点A的坐标为,
∴直线AG的斜率为,
又直线AG和直线MN垂直,
∴,
∴,
将上式代入(1)式,可得,
整理得,
解得.
∴实数的取值范围为
.
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