Question

【题目】如图，在四棱锥 A﹣BCDE中，侧面△ADE为等边三角形，底面 BCDE是等腰梯形，且CD∥B E，DE=2，CD=4，∠CD E=60°，M为D E的中点，F为AC的中点，且AC=4．
（1）求证：平面 ADE⊥平面BCD；
（2）求证：FB∥平面ADE；
（3）求四棱锥A﹣BCDE的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△AD E是等边三角形，M是D E的中点，

∴AM⊥DE， ，

∵在△DMC中，DM=1，∠CDM=60°，CD=4，

∴MC2=42+12﹣2×4×1×cos60°=13，

∴ ，

∵在△AMC中，A M2+MC2=3+13=16=AC2，

∴AM⊥MC，

∵MC∩DE=M，MC平面BCD，DE平面BCD，

∴AM⊥平面BCD，

∵AM平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCD

（2）证明：分别取AD，DC的中点G，N，连接FG，GE，FN，NB．

∵AC=DC，F，NF分别为AC，DC的中点，

∴ ，∴ ，

∴FN DN，

∴四边形DNFG是平行四边形，

∴ ，

∵点N是DC的中点，

∴BC=NC，又∠BCN=60°，

∴△BCN是等边三角形，

∴∠CNB=∠CDE=60°，

∴ ，

∴四边形EBND是平行四边形，

∴ ，

∴ ，

又平面ADE，GE平面ADE，

∴FB∥平面ADE

（3）解：过点B作BH⊥NC于点H，则BH= = = ．

由（2）可知：四边形EBND是平行四边形，

∴EB=ND=2，

∴底面等腰梯形BCDE的面积S四边形EBCD= =3 ，

∴四棱锥A﹣BCDE的体积V= = =3．

【解析】（1）利用等边三角形的性质可得AM⊥DE，在△DMC中，利用余弦定理可得MC2=13，利用勾股定理的逆定理可得：AM⊥MC，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明．（2）分别取AD，DC的中点G，N，连接FG，GE，FN，NB．利用三角形中位线定理与平行四边形的性质可得： ，可得△BCN是等边三角形，可得四边形EBND是平行四边形， ， ，可得FB∥平面ADE；（3）过点B作BH⊥NC于点H，可得BH．又EB=ND=2，利用四棱锥A﹣BCDE的体积V= ，即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个面垂直．