题目内容

【题目】设函数的定义域为,如果存在正实数,使得对任意,都有,且恒成立,则称函数上的“的型增函数”,已知是定义在上的奇函数,且在时, ,若上的“2017的型增函数”,则实数的取值范围是__________

【答案】

【解析】f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0,f(x)=|xa|2a

f(x)R上的“2017型增函数”,

(1)x>0时,由定义有|x+2017a|2a>|xa|2a

|x+2017a|>|xa|,其几何意义为到点a小于到点a2017的距离,

由于x>0,故可知a+a2017<0

x<0时,

①若x+2017<0,则有|x+2017+a|+2a>|x+a|+2a

|x+a|>|x+2017+a|,其几何意义表示到点a的距离小于到点a2017的距离,

由于x<0,故可得aa2017>0,

②若x+2017>0,则有|x+2017a|2a>|x+a|+2a

|x+a|+|x+2017a|>4a,其几何意义表示到到点a的距离与到点a2017的距离的和大于4a

(2)a0时,显然成立,当a>0时,由于|x+a|+|x+2017+a||aa+2017|=|2a2017|,

故有|2a2017|>4a,必有20172a>4a,解得

综上,xR都成立的实数a的取值范围是即: .

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