题目内容

【题目】已知函数是自然对数的底数).

(1)求函数的单调区间;

(2)若,当时,求函数的最大值;

(3)若,求证: .

【答案】(1)上单调递增,在上单调递减.

(2)(3)见解析

【解析】试题分析:(1) 求出得增区间, 得减区间;(2)利用导数研究函数的单调性即可求函数的最大值;(3)化简已知得, ,然后利用分析法证明原不等式.

试题解析: (1) 的定义域为,且,

,

上单调递增,在上单调递减.

(2) ,

,

时, ,,

时, ,

上单调递增,在上单调递减.

.

(3) , .

由(1)知 上单调递增,在上单调递减,且,

要证,即证,即证,即证,

即证,由于,即证.

恒成立

递增, 恒成立,

原不等式成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间;④根据单调性求函数的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网