Question

【题目】如图，在平行四边形中，于点，将沿折起，使，连接，得到如图所示的几何体．

（1）求证：平面平面；

（2）若点在线段上，直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，即可得出平面，从而可得结论；（2）过作，垂足为，连接，则，可得平面，由此为直线与平面所成的角，利用正切值为求出到平面的距离，代入体积公式即可得结果．

（1）∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，

∴AE⊥平面BCDE，

以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：

则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），

设AC的中点为M，则M（1，，），

∴=（0，，），=（0，1，-1），=（2，0，0），

∴=0，=0，

∴DM⊥AB，DM⊥BC，

又AB∩BC=B，AB平面ABC，BC平面ABC，

∴DM⊥平面ABC，

又DM平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，

则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，

∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．

设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN=，

∴tan∠PDN===，解得x=，即PN=．

∵BD==，CD=AB=，BC=2，

∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．

∴S△BCD==1，

∴三棱锥P-BCD的体积V=S△BCDPN==．