Question

9．在△ABC中，三边a、b、c对应的角分别为∠A、∠B、∠C，M={C∈（0，π）|满足a+b≥2c}，N={C∈（0，π）|满足sin²C≤sin²A+sin²B-sinAsinB}，试求M∪N．

Answer 1

分析 利用余弦定理解三角形化简集合M，N，然后利用并集运算得答案．

解答 解：∵a+b≥2c，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{ab}{2}}{2ab}$
=$\frac{\frac{3}{4}（{a}^{2}+{b}^{2}）-\frac{ab}{2}}{2ab}$$≥\frac{\frac{3}{2}ab-\frac{ab}{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$．
又C∈（0，π），∴0$＜C≤\frac{π}{3}$．
∴M={C∈（0，π）|满足a+b≥2c}=（0，$\frac{π}{3}$]；
∵sin²C≤sin²A+sin²B-sinAsinB，∴c²≤a²+b²-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}≥\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$．
C∈（0，π），∴0$＜C≤\frac{π}{3}$，
∴N={C∈（0，π）|满足sin²C≤sin²A+sin²B-sinAsinB}=（0，$\frac{π}{3}$]．
∴M∪N=（0，$\frac{π}{3}$]∪（0，$\frac{π}{3}$]=（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查并集及其运算，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．