题目内容
12.已知数列{an}(an>1)满足an+1=10an2,数列{bn}满足bn=lgan+1,且4b1为bm与bk的等比中项(m,k∈N*),则$\frac{1}{m}+\frac{1}{k}$的最小值是( )A. | $\frac{25}{6}$ | B. | 2 | C. | $\frac{7}{3}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
分析 an>1)满足an+1=10an2,取对数lgan+1=1+2lgan,化为lgan+1+1=2(lgan+1),可得bn+1=2bn.由4b1为bm与bk的等比中项(m,k∈N*),可得16${b}_{1}^{2}$=bmbk,
利用等比数列的通项公式可得:16=2m-1•2k-1,化为m+k=6,利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
解答 解:∵an>1)满足an+1=10an2,
∴lgan+1=1+2lgan,
化为lgan+1+1=2(lgan+1),
∵数列{bn}满足bn=lgan+1,
∴bn+1=2bn,
∴数列{bn}是等比数列,公比为2.
∵4b1为bm与bk的等比中项(m,k∈N*),
∴16${b}_{1}^{2}$=bmbk,
∴16=2m-1•2k-1,
化为m+k-2=4,即m+k=6,
则$\frac{1}{m}+\frac{1}{k}$=$\frac{1}{6}$(m+k)$(\frac{1}{m}+\frac{1}{k})$=$\frac{1}{6}$(2+$\frac{k}{m}+\frac{m}{k}$≥$\frac{1}{6}(2+2)$=$\frac{2}{3}$,当且仅当n=m∈N*时取等号.
故选:D.
点评 本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的性质、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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