Question

2．设a＞0，b＞0，若用x表示a和$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$中的较小者（a与$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$相等时，x=$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$），试问：x是否存在最大值？如果存在，求出最大值及存在最大值的条件．

Answer 1

分析 求出x的函数式，由x≤a，x≤$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，运用不等式的性质和基本不等式，即可得到所求最值．

解答 解：由题意可得x=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\\{\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}，a＞\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\end{array}\right.$，
由于x≤a，x≤$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
可得x²≤$\frac{ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由a²+b²≥2ab，
可得$\frac{ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=b，取得最大值．
即有x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故当且仅当a=b，取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用定义和基本不等式及不等式的性质，属于中档题．