Question

【题目】已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数） （Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴， ∴ =0，
解得：b=0；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，
则g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，
若函数g（x）有两个不同的零点，
则△=﹣4（c﹣2）＞0，
解得：c＜2；
（Ⅲ）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上，
∵|c2+1|2﹣|c|2=c4+c2+1=（c2+ ）2+ ＞0恒成立，
故|c2+1|＞|c|，
故不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立
【解析】（Ⅰ）若函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，则 =0，解得b值； （Ⅱ）由（I）得g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，则△=﹣4（c﹣2）＞0，解得c的范围； （Ⅲ）函数f（x）=x2+c的开口朝上，证得|c2+1|2﹣|c|2＞0恒成立，可得不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．